Video Pembelajaran Matematika Materi Statistika Kelas X
download di sini
Selasa, 14 Juni 2016
POWER POINT PEMBELAJARAN MATEMATIKA MATERI STATISTIKA KELAS X
Untuk selengkapanya silahkan klik disini
Untuk selengkapanya silahkan klik disini
Minggu, 07 April 2013
BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET
BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET
1.
DISTRIBUSI SERAGAM DISKRIT
Bila peubah
acak X mendapatkan harga x1, x2, ... xk, dengan peluang yang sama maka
distribusi seragam diskrit diberikan oleh:
Contoh : Bila sebuah dadu dilantunkan, tiap elemen ruang sampel S =
{1,2,3,4,5,6} muncul dengan peluang 1/6. Jadi, merupakan distribusi peluang
dengan f (x; 6) = 1/6, x = 1,2,3,4,5,6.
Histogram
distribusi seragam akan selalumembentuk suatu susunan persegi panjang dengan
tinggi yang sama.
Teorema 1
Rataan dan
Variansi distribusi seragam diskret f (x;k) adalah
2.
DISTRIBUSI BINOMIAL DAN MULTINOMIAL
Distribusi
Binomial
Suatu percobaan
sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil
yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Percobaan seperti ini disebut
percobaan binomial.
Suatu percobaan
binomial ialah yang memenuhi persyaratan berikut :
1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang
2. Tiap usaha
memberikan hasil yang dapat dikelompokkan sukses atau gagal.
3. Peluang
sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang
berikutnya.
4. Tiap usaha
bebas dengan usaha lainnya.
Pandang suatu
percobaan binomial yang berupa pengambilan tiga bahan secara acak dari suatu
pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.
Bahan yang cacat disebut sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak
yang harganya adalah bilangan bulat dari nol sampai 3. Tuliskanlah kedelapan
hasil yang mungkin dari harga X nya.
Hasil proses
dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat.
Dalam bentuk
tabel :
Definisi 1
Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut
suatu peubah acakbinomial.
Distribusi
peluang peubah acak binomial X disebut distribusi Binomial dan dinyatakan
dengan b (x;n,p), karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan
peluang sukses dalam suatu usaha (p).
Tiap sukses
terjadi dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 – p. Dalam
percobaan tersebut yang menghasilkan x sukses dan n – x yang gagal. Banyaknya
ini sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga
x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya n – x hasil pada kelompok
kedua, jumlah ini dapat
dinyatakan
dengan
Distribusi
Binomial Bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p
dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak
binomial X yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah
Teorema 2
Distribusi binomial b (x;n,p) mempunyai rataan
dan variansi
Umumnya, bila
suatu usaha dapat menghasilkan k hasil
yang mungkin E1, E2, … ,Ek dengan peluang p1,p2,… , pk , maka distribusi
multinomial akan memberikan peluang bahwa E1 terjadi sebanyak x1 kali, E2 x2
kali, . . . Ek xk kali dalam n usaha bebas dengan x1 + x2 + … + xk = n.
Distribusi peluang gabungan seperti ini dinyatakan dengan f(x1, x2,…, xn;
p1,p2, … , pk,n). Jelas p1+p2,+… + pk = 1 , karena hasil tiap usaha haruslah
salah satu dari k hasil yang
mungkin.
Distribusi
Multinomial
Bila suatu
usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1, E2, … ,Ek dengan peluang
p1,p2,… , pk, maka distribusi peluang acak X1,X2,… , Xk, yang menyatakan
terjadinya E1, E2, … ,Ek dalam n usaha yang bebas ialah
Ini dapat
dikerjakan dengan cara sebanyak
Karena tiap
bagian saling terpisah dan terjadi dengan peluang yang sama, maka distribusi
mutinomial dapat diperoleh dengan mengkalikan peluang untuk tiap urutan
tertentu dengan banyaknya sekatan.
3.
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
·
Dipergunakan
untuk memecahkan masalah penarikan sampel tanpa pengembalian
·
Ada
n benda
·
k
benda diberi nama sukses
·
Sisanya
n-k benda gagal. Dicari peluang memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia
, bila sampel acak ukuran n diambil dari N benda.
·
Sifat
percobaan hipergeometrik
1.
Sampel
acak ukuran n diambil dari N benda
2.
Sebanyak
k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya N-k, diberi nama gagal
Definisi 2
Banyaknya
sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak Hipergeometrik
Distribusi
Hipergeometrik
Distribusi
peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak
ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k
gagal, ialah
Teorema 3
Rataan dan variansi
distribusi hipergeomerik h( x;N,n,k) adalah
Dan
Catatan : bila n kecil dibandingkan dengan N maka peluang tiap
penarikan hanya akan berubah sedikit. Jadi pada dasarnya distribusi
hipergeometrik dapat dihampiri dengan distribusi binomial dengan p = k/N
Perluasan
Distribusi Hipergeometrik
Bila
N benda dapat dikelompokan dalam k sel A1, A2, …, Ak masing-masing berisi a1,
a2, …, ak benda, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang
menyatakan banyaknya benda ( anggota) yang terambil dari A1, A2, …, Ak dalam
suatu sampel acak ukuran n ialah
Definisi
3
Banyaknya
sukses X dalam suatu percobaan Poisson disebut suatu peubah acak Poisson.
Distribusi
peluang suatu peubah acak Poisson X disebut distribusi Poisson dan dinyatakan
dengan p(x;μ), karena nilainya hanya tergantung pada μ, yaitu rata-rata banyaknya
sukses yang terjadi pada selang waktu atau daerah tertentu.
3.
DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN GEOMETRIK
Ditribusi
Binomial Negatif
Percobaan yang bersifat sama dengan percobaan
binomial, kecuali di sini usaha diulangi sampai terjadi sejumlah sukses
tertentu. Ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x.
Definisi
4
Banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses dalam suatu
percobaan negatif disebut peubah acak binomial negative
Distribusi peluang binomial nagatif X disebut distribusi binomial
negatif dinyatakan dengan b*(x;k,p), karena nilainya tergantung pada banyaknya
sukses yang diinginkan dan peluang sukses dalan usaha tertentu
Pandanglah peluang mendapat suatu sukses yang didahului oleh k-1
sukses dan x-k gagal dalam urutan tertentu. Karenatiap usaha bebas dari usaha
lainnya, peluang yang berpadanan dengan tiap hasil dapat diperkalikan
Distribusi Binomial Negatif
Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan
sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi
peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke
k, diberikan oleh
Distribusi geometric
Bila usaha yang paling bebas dan dilakukan berulang kali
menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka
distribusi peluang acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir pada sukses
pertama, diberikan oleh
4.
DISTRIBUSI POISSON DAN PROSES POISSON
Distribusi
Poisson
Distribusi
peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi
dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh
μ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang
waktu atau daerah tertentu tersebut dan e = 2,71828…
Dalam persoalan
menyelesaikan distribusi Poisson kita dapat menggunakan tabel statistik dengan
jumlah peluang Poisson : untuk beberapa nilai tertentu dari μ dari 0, 1 sampai
18.
Teorema
4
Rataan dan variansi distribusi Poisson p(x; m) keduanya sama dengan m.
Bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi
Poisson dapat digunakan, dengan ì = np, untuk menghampiri peluang
binomial.
Bila p dekat dengan 1, distribusi Poisson masih dapat dipakai
untuk menghampiri peluang binomial dengan mempertukarkan apa uang telah dinamai
dengan sukses dan gagal, jadi dengan mengganti p dengan suatu nilai yang dekat
dengan nol.
Teorema 5
Misalkanlah X peubah acak binomial dengan distribusi peluang
b(x;n,p). Bila n→∞, p→0, dan μ
= np tetap sama, maka b(x;n,p) p(x;μ)
Proses Poisson
Proses poisson menggambarkan
munculnya suatu kejadian pada titik-titik waktu secara acak, dimana proses
pencacahan banyaknya kedatangan selama suatu selang waktu tertentu
sebagai suatu p.a. poisson. Sebagai contoh adalah masuknya pesan SMS pada
handphone,panggilan telepon, computer jobs untuk dikompilasi dan dieksekusi
oleh suatu computer, jaringan yang membawa paket data untuk menyampaikan
informasi, mengukur lalu lintas yang melewati suatu jaringan, dimana setiap
saat ada data yang lewat. Pada saat data lewat maka fungsi akan bertambah satu
dan waktu terjadi data yang lewat mana yang yang sesuai dengan kondisi jaringan
saat itu, dll.
N(t) : Banyaknya titik kedatangan dalam (0,t], N(s,t)
: Banyaknya titik kedatangan dalam (s,t], t0 adalah titik
awal mulai pencacahan, t1 adalah titik waktu kedatangan sms ke-1, t2
adalah titik waktu kedatangan sms ke-2, dst. x1=t1–t0,
adalah waktu antar kedatangan (interarrival time) sms 1, x2 = t2
– t1, adalah waktu antar kedatangan sms 2, dst. Xi ini adalah p.a.
yang menyebar exponensial dengan rate l, Xi ~ Exp(l l), Sedangkan N(t) ~
Poisson(l).
Proses Poisson memiliki beberapa
asumsi :
a. N(0) = 0, adalah saat mulai
observasi kejadian yaitu pada t = 0.
b. Utk setiap waktu 0<t1<t2,t3<t4,
var. random N(t2) – N(t1) dan N(t4) – N(t3)
bersifat independen.
c. Distribusi kemungkinan dari var.
random N(t+s) – N(t) hanya tergantung pada s, yaitu panjang interval, bukan
pada t.
d. Selama ∆t à 0, kemungkinan
terjadi satu kejadian pada interval (t, t + ∆t) mendekati ג∆t, yaitu
proporsional dengan panjang interval. Kemungkinan terjadi lebih dari satu
kejadian pada interval yg sama adalah nol, atau kemungkinan muncul nol kejadian
adalah 1 – ג∆t.
Misalkan Pk(t)=besar kemungkinan dimana N(t)=k.
Pada saat t + ∆t, dimana ∆t à0, maka ada 2 cara dimana N(t)
memiliki nilai k, yaitu : (a). N(t) = k dan tidak ada kejadian pada selang
waktu (t + ∆t), atau (b). N(t) = k–1 dan terdapat 1 kejadian pada selang waktu
(t + ∆t).
Besar kemungkinan terjadinya (b) adalah ג∆t
(berdasarkan asumsi (iv)) dan besar kemungkinan (a) adalah 1 – ג∆t. Selama
variabel-variabel random N(t+ ג∆t) – N(t)
dalam N(t) bersifat independent, maka :
Pk(t + ∆t) = Pk(t)(1
– ג∆t) + Pk-1(t) ג∆t ………Pers. (1)
Pk(t + ∆t) – Pk(t) = – ג Pk(t) + ג Pk-1(t)
Dengan k = 1,2,3,…
∆t ∆t à0, maka
Lim Pk(t + ∆t) –
Pk(t) = – ג Pk(t) + ג Pk-1(t) ………………
∆t à0 ∆t
Pk’ (t) = – ג Pk(t) + ג Pk-1(t) , k = 1,2,3,…
- Untuk k = 0, maka pers. (1) menjadi
P0(t + ∆t) = P0(t)(1
– ג∆t)
P0(t + ∆t) – P0(t) = – ג P0(t)
∆t
Lim P0(t + ∆t) –
P0(t) = – ג P0(t)
∆t à0 ∆t
P0’(t) = – ג P0(t), dimana
penyelesaian persamaan ini adalah;
P0(t) = A e-גt, selama N(0)=0, P0(0)
= 1, maka didapat : P0(t) = e-גt ………………….pers. (2)
- Untuk k = 1,
P1’(t)
= – ג P1(t)
+ ג e-ג.t,
dengan menggunakan pembatas P1(0) = 0, didapat P1(t) = ג t e-גt
Dari untuk k=0 dan k=1, didapat
persamaan umumnya : Pk(t) = [(גt)ke-גt]/k! k = 0,
1, 2, 3, …
Suatu
proses poisson dengan rate l>0 adalah proses perhitungan dengan kondisi-kondisi
yang harus dipenuhi sebagai berikut :
- Independent increment
- Stationary increment
- Probabilitas kemunculan tepat suatu event dalam interval dengan panjang h adalah lh + o(h)2, yaitu bahwa P[N(h)=1] = lh + o(h)
- Probabilitas kemunculan lebih dari satu event dalam interval dengan panjang h adalah o(h), yaitu bahwa P[N(h)>1] = o(h)
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Pengamatan
memperlihatkan bahwa banyak kendaraan melalui sebuah tikungan setiap menit mengikuti distribusi peluang sebagai berikut.
Banyak
Kendaraan
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
Peluang
|
0,01
|
0,05
|
0,10
|
0,28
|
0,22
|
0,18
|
0,08
|
0,05
|
0,03
|
Berapakah peluang dalam 1 menit dan rata-rata tipa
menitnya ?
Jawab.
Ø
Peluang dalam satu menit peling sedikit ada 3 kendaraan
yang melalui tikungan itu = 1 – (0,01 + 0,05 + 0,10) = 0,84.
Ø
Rata-rata tiap menit:
(0)(0,01) + (1)(0,05) + (2)(0,10) +
(3)(0,28) + (4)(0,22) + (5)(0,18) + (6)(0,08) + (7)(0,05) + (8)(0,03) = 3,94. Atau terdapat 394 kendaraan
setiap 100 menit.
2.
10 % dari
semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah
diambil secara acak. Berapa
peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A :
a.
semuanya,
b.
sebuah,
c.
dua buah,
d.
paling sedikit sebuah,
e.
paling banyak dua buah
f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.
Jawab :
Ø
Artikan R =
banyak benda kategori A. Peluang benda termasuk kategori A = 0,10. Semuanya tergolong kategori A R = 30
Ø
P (R = 30) = (0,10)30
(0,90)0 = 10-30
Sebuah harga
yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.
Ø Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1
P (R = 1) = (0,10)1
(0,90)29 = 0,1409
Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A =
0,1409
Ø
Disini X = 2, sehingga :
P
(R = 2) = (0,10)2
(0,90)28 = 0,2270
Ø Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A,
berarti X = 1, 2, 3, .., 30. Jadi perlu P(R = 1) + P(R = 2) + … + P(R = 30).
Tetapi P(R = 0) + P(R = 1) + … + P(R = 30) = 1, sehingga yang dicari = 1 – P(R
= 0).
P(R=
0) = (0,10)0 (0,90)30 = 0,0423.
Jadi, peluang
dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A = 1 – 0,0423 =
0,9577
Ø Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti R=
0, 1, 2. Perlu dicari P(R = 0) + P(R = 1) + P(R = 2) = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270
= 0,4102.
Ø
m =
30 (0,1) = 3 artinya, rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk
kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30
Langganan:
Postingan (Atom)