BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET

BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET

1.      DISTRIBUSI SERAGAM DISKRIT

Bila peubah acak X mendapatkan harga x1, x2, ... xk, dengan peluang yang sama maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh:

Contoh : Bila sebuah dadu dilantunkan, tiap elemen ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6} muncul dengan peluang 1/6. Jadi, merupakan distribusi peluang dengan f (x; 6) = 1/6, x = 1,2,3,4,5,6.

Histogram distribusi seragam akan selalumembentuk suatu susunan persegi panjang dengan tinggi yang sama.

Teorema 1

Rataan dan Variansi distribusi seragam diskret f (x;k) adalah

2.      DISTRIBUSI BINOMIAL DAN MULTINOMIAL

Distribusi Binomial

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Percobaan seperti ini disebut percobaan binomial.

Suatu percobaan binomial ialah yang memenuhi persyaratan berikut :

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan sukses atau gagal.

3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya.

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Pandang suatu percobaan binomial yang berupa pengambilan tiga bahan secara acak dari suatu pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat disebut sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak yang harganya adalah bilangan bulat dari nol sampai 3. Tuliskanlah kedelapan hasil yang mungkin dari harga X nya.

Hasil proses dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat.

Dalam bentuk tabel :

Definisi 1

Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acakbinomial.

Distribusi peluang peubah acak binomial X disebut distribusi Binomial dan dinyatakan dengan b (x;n,p), karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p).

Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 – p. Dalam percobaan tersebut yang menghasilkan x sukses dan n – x yang gagal. Banyaknya ini sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya n – x hasil pada kelompok kedua, jumlah ini dapat

dinyatakan dengan

Distribusi Binomial Bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah

Teorema 2

 Distribusi binomial b (x;n,p) mempunyai rataan dan variansi

Umumnya, bila suatu usaha dapat menghasilkan  k hasil yang mungkin E1, E2, … ,Ek dengan peluang p1,p2,… , pk , maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa E1 terjadi sebanyak x1 kali, E2 x2 kali, . . . Ek xk kali dalam n usaha bebas dengan x1 + x2 + … + xk = n. Distribusi peluang gabungan seperti ini dinyatakan dengan f(x1, x2,…, xn; p1,p2, … , pk,n). Jelas p1+p2,+… + pk = 1 , karena hasil tiap usaha haruslah salah satu dari k hasil yang

mungkin.

Distribusi Multinomial

Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1, E2, … ,Ek dengan peluang p1,p2,… , pk, maka distribusi peluang acak X1,X2,… , Xk, yang menyatakan terjadinya E1, E2, … ,Ek dalam n usaha yang bebas ialah

Ini dapat dikerjakan dengan cara sebanyak

Karena tiap bagian saling terpisah dan terjadi dengan peluang yang sama, maka distribusi mutinomial dapat diperoleh dengan mengkalikan peluang untuk tiap urutan tertentu dengan banyaknya sekatan.

3.      DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

·         Dipergunakan untuk memecahkan masalah penarikan sampel tanpa pengembalian

·         Ada n benda

·         k benda diberi nama sukses

·         Sisanya n-k benda gagal. Dicari peluang memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia , bila sampel acak ukuran n diambil dari N benda.

·         Sifat percobaan hipergeometrik

1.      Sampel acak ukuran n diambil dari N benda

2.      Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya N-k, diberi nama gagal

Definisi 2

Banyaknya sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak Hipergeometrik

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k gagal, ialah

Teorema 3

 Rataan dan variansi distribusi hipergeomerik h( x;N,n,k) adalah

         Dan               

Catatan : bila n kecil dibandingkan dengan N maka peluang tiap penarikan hanya akan berubah sedikit. Jadi pada dasarnya distribusi hipergeometrik dapat dihampiri dengan distribusi binomial dengan p = k/N

Perluasan Distribusi Hipergeometrik

Bila N benda dapat dikelompokan dalam k sel A1, A2, …, Ak masing-masing berisi a1, a2, …, ak benda, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyaknya benda ( anggota) yang terambil dari A1, A2, …, Ak dalam suatu sampel acak ukuran n ialah

Definisi 3

Banyaknya sukses X dalam suatu percobaan Poisson disebut suatu peubah acak Poisson.

Distribusi peluang suatu peubah acak Poisson X disebut distribusi Poisson dan dinyatakan dengan p(x;μ), karena nilainya hanya tergantung pada μ, yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi pada selang waktu atau daerah tertentu.

3.      DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN GEOMETRIK

Ditribusi Binomial Negatif

Percobaan yang bersifat sama dengan percobaan binomial, kecuali di sini usaha diulangi sampai terjadi sejumlah sukses tertentu. Ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x.

Definisi 4

Banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses dalam suatu percobaan negatif disebut peubah acak binomial negative

Distribusi peluang binomial nagatif X disebut distribusi binomial negatif dinyatakan dengan b*(x;k,p), karena nilainya tergantung pada banyaknya sukses yang diinginkan dan peluang sukses dalan usaha tertentu

Pandanglah peluang mendapat suatu sukses yang didahului oleh k-1 sukses dan x-k gagal dalam urutan tertentu. Karenatiap usaha bebas dari usaha lainnya, peluang yang berpadanan dengan tiap hasil dapat diperkalikan

Distribusi Binomial Negatif

Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, diberikan oleh

Distribusi geometric

Bila usaha yang paling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir pada sukses pertama, diberikan oleh

4.      DISTRIBUSI POISSON DAN PROSES POISSON

Distribusi Poisson

Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh

μ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tersebut dan e = 2,71828…

Dalam persoalan menyelesaikan distribusi Poisson kita dapat menggunakan tabel statistik dengan jumlah peluang Poisson : untuk beberapa nilai tertentu dari μ dari 0, 1 sampai 18.

Teorema 4

Rataan dan variansi distribusi Poisson p(x; m) keduanya sama dengan m

Bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi Poisson dapat digunakan, dengan = np, untuk menghampiri peluang binomial.

Bila p dekat dengan 1, distribusi Poisson masih dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial dengan mempertukarkan apa uang telah dinamai dengan sukses dan gagal, jadi dengan mengganti p dengan suatu nilai yang dekat dengan nol.

Teorema 5

Misalkanlah X peubah acak binomial dengan distribusi peluang b(x;n,p). Bila n→∞, p→0, dan μ = np tetap sama, maka b(x;n,p)    p(x;μ)

Proses Poisson

Proses poisson menggambarkan munculnya suatu kejadian pada titik-titik waktu secara acak, dimana proses pencacahan banyaknya  kedatangan selama suatu selang waktu tertentu sebagai suatu p.a. poisson. Sebagai contoh adalah masuknya pesan SMS pada handphone,panggilan telepon, computer jobs untuk dikompilasi dan dieksekusi oleh suatu computer, jaringan yang membawa paket data untuk menyampaikan informasi, mengukur lalu lintas yang melewati suatu jaringan, dimana setiap saat ada data yang lewat. Pada saat data lewat maka fungsi akan bertambah satu dan waktu terjadi data yang lewat mana yang yang sesuai dengan kondisi jaringan saat itu, dll.

N(t) : Banyaknya titik kedatangan dalam (0,t], N(s,t) : Banyaknya titik kedatangan dalam (s,t], t₀ adalah titik awal mulai pencacahan, t₁ adalah titik waktu kedatangan sms ke-1, t₂ adalah titik waktu kedatangan sms ke-2, dst.  x₁=t₁–t₀, adalah waktu antar kedatangan (interarrival time) sms 1, x₂ = t₂ – t₁, adalah waktu antar kedatangan sms 2, dst. Xi ini adalah p.a. yang menyebar exponensial dengan rate l, Xi ~ Exp(l l), Sedangkan N(t) ~ Poisson(l).

Proses Poisson memiliki beberapa asumsi :

a.       N(0) = 0, adalah saat mulai observasi kejadian yaitu pada t = 0.

b.      Utk setiap waktu 0<t₁<t₂,t₃<t₄, var. random N(t₂) – N(t₁) dan N(t₄) – N(t₃) bersifat independen.

c.       Distribusi kemungkinan dari var. random N(t+s) – N(t) hanya tergantung pada s, yaitu panjang interval, bukan pada t.

d.      Selama  ∆t à 0, kemungkinan terjadi satu kejadian pada interval (t, t + ∆t) mendekati ג∆t, yaitu proporsional dengan panjang interval. Kemungkinan terjadi lebih dari satu kejadian pada interval yg sama adalah nol, atau kemungkinan muncul nol kejadian adalah 1 – ג∆t.

Misalkan P_k(t)=besar kemungkinan dimana N(t)=k.   Pada saat t + ∆t, dimana ∆t à0, maka ada 2 cara dimana N(t) memiliki nilai k, yaitu : (a). N(t) = k dan tidak ada kejadian pada selang waktu (t + ∆t), atau (b). N(t) = k–1 dan terdapat 1 kejadian pada selang waktu (t + ∆t).

Besar kemungkinan terjadinya (b) adalah ג∆t (berdasarkan  asumsi (iv)) dan besar kemungkinan (a) adalah 1 – ג∆t. Selama variabel-variabel random N(t+ ג∆t) – N(t) dalam N(t) bersifat independent, maka :

P_k(t + ∆t) = P_k(t)(1 – ג∆t) + P_k-1(t) ג∆t ………Pers. (1)

P_k(t + ∆t) – P_k(t) = – ג P_k(t) + ג P_k-1(t)       Dengan k = 1,2,3,…

∆t ∆t à0, maka

Lim  P_k(t + ∆t) – P_k(t) = – ג P_k(t) + ג P_k-1(t)  ………………

^{∆t à0} ∆t

P_k’ (t) = – ג P_k(t) + ג P_k-1(t) , k = 1,2,3,…

• Untuk k = 0, maka pers. (1) menjadi

P₀(t + ∆t) = P₀(t)(1 – ג∆t)

P₀(t + ∆t) – P₀(t) = – ג P₀(t)

∆t

Lim  P₀(t + ∆t) – P₀(t) = – ג P₀(t)

^{∆t à0} ∆t

P₀’(t) = – ג P₀(t), dimana penyelesaian persamaan ini adalah;

P₀(t) = A e^-גt,  selama  N(0)=0,  P₀(0) = 1, maka didapat : P₀(t) = e^-גt ………………….pers. (2)

• Untuk k = 1,

P₁’(t) = – ג P₁(t) + ג e^-ג.t, dengan menggunakan pembatas P₁(0) = 0, didapat P₁(t) = ג t e^-גt

Dari untuk k=0 dan k=1, didapat persamaan umumnya : P_k(t) = [(גt)^ke^-גt]/k!     k = 0, 1, 2, 3, …

Suatu proses poisson dengan rate l>0 adalah proses perhitungan dengan kondisi-kondisi yang harus dipenuhi sebagai berikut :

1. Independent increment
2. Stationary increment
3. Probabilitas kemunculan tepat suatu event dalam interval dengan panjang h adalah lh + o(h)², yaitu bahwa P[N(h)=1] = lh + o(h)
4. Probabilitas kemunculan lebih dari satu event dalam interval dengan panjang h adalah o(h), yaitu bahwa P[N(h)>1] = o(h)

 

SOAL DAN PEMBAHASAN

1.      Pengamatan memperlihatkan bahwa banyak kendaraan melalui sebuah  tikungan setiap menit  mengikuti distribusi peluang sebagai berikut.

Banyak Kendaraan	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Peluang	0,01	0,05	0,10	0,28	0,22	0,18	0,08	0,05	0,03

            Berapakah peluang dalam 1 menit dan rata-rata tipa menitnya ?

Jawab.

Ø  Peluang dalam satu menit peling sedikit ada 3 kendaraan yang melalui tikungan itu = 1 – (0,01 + 0,05 + 0,10) = 0,84.

Ø  Rata-rata tiap menit:

(0)(0,01) + (1)(0,05) + (2)(0,10) + (3)(0,28) + (4)(0,22) + (5)(0,18) + (6)(0,08) + (7)(0,05) +  (8)(0,03) = 3,94. Atau terdapat 394 kendaraan setiap 100 menit.

2.      10 % dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A :

a.    semuanya,

b.    sebuah,

c.    dua buah,

d.    paling sedikit sebuah,

e.    paling banyak dua buah

f.     tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.

Jawab :

Ø  Artikan R = banyak benda kategori A. Peluang benda termasuk kategori A = 0,10. Semuanya tergolong kategori A  R = 30

Ø  P (R = 30) =  (0,10)³⁰ (0,90)⁰ = 10^-30

Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.

Ø  Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1

P (R = 1) =  (0,10)¹ (0,90)²⁹ = 0,1409

Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A = 0,1409

Ø  Disini X = 2, sehingga :

P (R = 2) =  (0,10)² (0,90)²⁸ = 0,2270

Ø  Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3, .., 30. Jadi perlu P(R = 1) + P(R = 2) + … + P(R = 30). Tetapi P(R = 0) + P(R = 1) + … + P(R = 30) = 1, sehingga yang dicari = 1 – P(R = 0).

P(R= 0) = (0,10)⁰ (0,90)³⁰ = 0,0423.

Jadi, peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A = 1 – 0,0423 = 0,9577

Ø  Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti R= 0, 1, 2. Perlu dicari P(R = 0) + P(R = 1) + P(R = 2) = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102.

Ø  m = 30 (0,1) = 3 artinya, rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30

3.      Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode T=5 tahun adalah 359m³/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut:

a.    Tidak terjadi ?

b.    Terjadi satu kali ?

c.    Terjadi dua kali ?

d.    Terjadi tiga kali ?

e.    Rata-rata dan deviasi standarnya ?

Jawab.

Dari soal didapat:

§  T=5 tahun, maka P=1/T=1/5=0,2

§  Q=1-P=1-0,2=0,8

§  N=10

§  P(R)=, maka:

o   Peluang debit banjir tidak terjadi, berarti x=0, sehingga

            P(R=0)=

o   Peluang debit banjir terjadi satu kali , berarti x=1, sehingga:

P(R=1)=

o   Peluang debit banjir terjadi dua kali , berarti x=2, sehingga:

P(R=2)=

o   Peluang debit banjir terjadi tiga kali , berarti x=3, sehingga:

P(R=3)=         

o   Peluang debit banjir dengan T=5 tahunan, rata-rata terjadi selama 10 tahun, sehingga :

     =(10)(0,2)=2 kali.

Artinya, waktu 10 tahun, rata-rata akan terjadi debit banjir dengan priode 5 tahunan adalah 2 kali, dengan deviasi standar dihitung dari:   =

4.      Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik = 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk:

a)            tidak ada

b)            ada 2 orang

c)            lebih dari 2 orang, dan

d)           ada berapa orang akan mendapat reaksi buruk.

Penyelesaian:

a)      Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson kepada distribusi binomial, maka  = Np = 4000 X 0,0005 = 2.

R = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat suntikan, maka:

P(R=0) =

b)      Dalam hal ini X = 2, sehingga :

P(R=2) =

Peluang ada 2 orang mendapat reaksi buruk ialah 0,2706.

c)      Yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, ini berarti X = 3, 4, 5, . . . . Tetapi P(R=0) + P(R=1) + . . . = 1, maka P(R=3) + P(R=4) + . . . = 1- P(R=0)- P(R=1)– P(R=2). Harga-harga P(R=0) dan P(R=2) sudah dihitung di atas

      P(R=1) =

Peluang yang dicari = 1 – (0,1353 + 0,2706 + 0,2706) = 0,3235.

d)     Tiada lain diminta menentukan rata-rata , yaitu

 = 2.

5.      Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan umur bangunan 100 tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 550 m³/det dengan priode ulang 200 tahun selama priode umur dam tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson ?

Jawab

Ø   Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1 kali banjir adalah:

             , dan  sehingga:

         =

Ø   Artinya, pada DPS itu dengan umur dam pengendali banjir 100 tahun, selama priode umur tersebut akan terjadi banjir priode 200 tahun dengan peluang 0,308%.

6.      Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang diantara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C.

Jawab :

Jelas bahwa P (dari mesin A) = , P (dari mesin B) =  dan P (dari mesin C) = 5/12. Dengan rumus di atas didapat :

P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)

=  = 0,1206

7.      Misalkan ada sebuah populasi berukuran N di antaranya terdapat D buah termasuk kategori tertentu. Dari pupolasi ini sebuah sampel acak diambil berukuran n. Pertanyaan: berapa peluang dalam sampel itu terdapat x buah termasuk kategori tertentu itu?

Jawab:

Ditentukan oleh distribusi hipergeometrik di bawah :

P(x) =

x = 0, 1, 2, . . . , n dan faktor-faktor di ruas kanan ditentukan oleh Rumus kombinasi

8.      Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 di antaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluangnya di antara 5 orang tadi:

a)      tidak terdapat yang lahir tanggal 1 Januari ?

b)      tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari?

Penyelesaian :

a)      Ambil x = banyak orang di antara n = 5 yang lahir pada tanggal 1 Januari. Maka dengan N = 50, D = 3

P(0) =

Peluang = 0,724 bahwa kelima orang itu tidak lahir pada tanggal 1 Januari.

b)      Tidak lebih dari seorang yang lahir pada 1 Januari, berarti x = 0 dan x = 1.

P(0) sudah dihitung di atas.

P(1) =

9.      Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distributor sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10 ban dari distributor secara acak saja. Berapa probabilitasnya bahwa ada 3 buah ban yg warnanya sedikit pudar?

Jawab:

Populasinya N=5000, ukuran sampelnya n=10 (n/N < 5%), jadi bisa dipakai distribusi binomial saja, dengan probabilitas warna sedikit pudar p=k/N = 1000/5000 = 0.2, dan tidak pudar q=1-p=0.8. Jumlah sampel n=10, banyak yang pudar x=3, berarti probabilitasnya :

P(x=3;n=10,p=0.2) = B(r≤3;n=10,p=0.2)-B(r≤2;n=10,p=0.2)

= 0.8791 -0.6778 = 0.2013 = 20%

10.  Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawaban:

Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t

t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e ^{–λ . t} . ( λ . t ) ^x

X!

P ( x ) = e ^{–72 . ( 1/ 20 )} . ( 72 . 1 / 20 ) ⁴

4!

= 0.191 atau 19.1 %