Makalah Sejarah Matematika : SEJARAH PERKEMBANGAN BILANGAN E


BAB I
PENDAHULUAN

1.      Latar Belakang
bilangan e adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2.71828 18284 59045 23536..
e = 2.71828 18284 59045 23536..
e ditemukan oleh John Napier sang penemu logaritma pada tahun 1614 tetapi e dipopulerkan oleh Lionhard euler bahkan  euler lah yang pertama kali menngunakan simbol e, e diperoleh melalui perhitungan. Defenisi bilangan e atau bilangan euler juga di artikan dengan defenisi limit yaitu mendekati.
Pada makalh ini kami akan membahas tentang sejarah perkembangan bilangan e tersebut, karena selama ini kita hanya memakai bilangan e, dan sekarang kita harus lebih mengetahui tentang sejarah perkembangan bilangan e.

2.      Rumusan Masalah
Dalam penulisan makalah ini rumusan masalah yang akan d kaji diantaranya:
1.      Bagaimanakah sejarah
2.      Siapa saja dan bagaiman
3.      Bagaimanakah seja
4.      Siapa dan bagaimanakah ah

3.       Tujuan dan Kegunaan
Tujuan dari penulisan makalah ini diantaranya:
1)      Untuk memaha
Adapun kegunaannya adalah:
1.      Menambah wawasan dan sebagai bahan bacaan.
2.      Memenuhi tugas terstruktur mata kuliah Sejarah Matematika.



BAB I
PENDAHULUAN

1.      Pengertian Bilangan Euler

e adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2.71828 18284 59045 23536..
e = 2.71828 18284 59045 23536..
e ditemukan oleh John Napier sang penemu logaritma pada tahun 1614 tetapi e dipopulerkan oleh Lionhard euler bahkan  euler lah yang pertama kali menngunakan simbol e, e diperoleh melalui perhitungan. Defenisi bilangan e atau bilangan euler juga di artikan dengan defenisi limit yaitu mendekati.[1]
latex_006ertw.png
Atau  melalui rumus
latexrd6ysuy.png
ee adalah bilangan irasioanal maka oleh karena itu nilai e tidak akan pernah berhenti sama seperti π.[2]
2.      Kegunaan e
 e adalah salah satu dari 5 bilangan penting dalam matematika. Keempat bilangan penting yang lainnya π, i 0 ,1. Kalo kita memperdalam matematika akan bakalan sering nemui e, dia ada dibanyak rumus. E juga adalah basis dari logaritma natural.
Salah satu penerapan e adalah dalam perhitungan bunga bank.
Rumusnya adalah
 latex_007.png
misalkan kita menaruh deposito sebesar 10juta, bunga 9% setahun maka dalam waktu 2 tahun uang kita menjadi

3.      Tokoh bilangan e

Di abad ke-17 Swiss punya seorang matematikus dan ahli fisika yang teramat brilian dan ilmuwan terkemuka sepanjang masa. Orang itu Leonhard Euler. Hasil karyanya mempengaruhi penggunaan semua bidang fisika dan di banyak bidang rekayasa.
Dia menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya terdiri dari dua jilid, beratus-ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan. Orang bilang, kumpulan tulisan-tulisan ilmiahnya terdiri dari lebih 70 jilid!
Euler lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Dia diterima masuk Universitas Basel tahun 1720 tatkala umurnya baru mencapai tiga belas tahun. Mula-mula dia belajar teologi, tetapi segera pindah ke mata pelajaran matematika. Dia peroleh gelar sarjana dari Universitas Basel pada umur tujuh belas tahun dan tatkala umurnya baru dua puluh tahun dia terima undangan dari Catherine I dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg. Di umur dua puluh tiga tahun dia jadi mahaguru fisika di sana dan ketika umurnya dua puluh enam tahun dia menggantikan korsi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang matematikus masyhur Daniel Bernoulli. Dua tahun kemudian penglihatan matanya hilang sebelah, namun dia meneruskan kerja dengan kapasitas penuh, menghasilkan artikel-artikel yang brilian.
Tahun 1741 Frederick Yang Agung dari Prusia membujuk Euler agar meninggalkan Rusia dan memintanya bergabung ke dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di Berlin. Dia tinggal di Berlin selama dua puluh lima tahun dan kembali ke Rusia tahun 1766. Tak lama sesudah itu kedua matanya tak bisa melihat lagi. Bahkan dalam keadaan tertimpa musibah macam ini, tidaklah menghentikan penyelidikannya. Euler memiliki kemampuan spektakuler dalam hal mental aritmatika, dan hingga dia tutup usia (tahun 1783 di St. Petersburg --kini bernama Leningrad-- pada umur tujuh puluh enam tahun), dia terus mengeluarkan kertas kerja kelas tinggi di bidang matematika. Euler kawin dua kali dan punya tiga belas anak, delapan diantaranya mati muda.[4]

4.      Asal usul bilangan e
e adalah bilangan yang sangat istimewa, gan. Awalnya matematikawan berusaha mencari luas daerah di bawah kurva y=1/x .. Kemudian, didapatlah fungsi itu, (misalnya f(x)) yang merupakan integral dari fungsi y(x) tadi.
Tepatnya:
http://www.forumsains.com/cgi-bin/mimetex.cgi?f%28x%29=%5Cint_0%5Ex%20%5Cfrac%201x%20dx

Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata si f(x) ini adalah suatu fungsi logaritma.
Kan matematikawan jadi penasaran tuh? Jika f(x) adalah fungsi logaritma, maka pasti ada basisnya, dicarilah basisnya yang ternyata adalah suatu bilangan irrasional (sebut saja a) yang besarnya sekitar 2,178. Karena matematikawan memang suka penasaran, sekarang mereka membuat fungsi invers dari f(x) Sebut saja fungsi invers ini adalah g(x).
http://www.forumsains.com/cgi-bin/mimetex.cgi?g%28x%29=f%5E%7B-1%7D%28x%29

Karena f(x) adalah fungsi logaritma, maka fungsi inversnya adalah fungsi ekspone dengan basis a tadi. Kalau kita tulis:

http://www.forumsains.com/cgi-bin/mimetex.cgi?g%28x%29=f%5E%7B-1%7D%28x%29=a%5Ex

Tapi, matematikawan tersebut melihat suatu keunikan, yaitu fungsi eksponen tersebut (g(x)) ternyata jika diturunkan adalah fungsi itu sendiri…..
Kalau ditulis:

 http://www.forumsains.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%20%7Bd%20a%5Ex%7D%7Bdx%7D=a%5Ex

Dan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini. Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri. Karena alasan keunikan, maka f(x) diberi nama “logaritma natural” (logaritma alamiah) yang diberi nama singkat

http://www.forumsains.com/cgi-bin/mimetex.cgi?f%28x%29=ln%28x%29

 Sedangkan basisnya, (a yang tadi) diberi nama basis natural, dan diberi simbol
 http://www.forumsains.com/cgi-bin/mimetex.cgi?a=e

Kenapa http://www.forumsains.com/cgi-bin/mimetex.cgi?e? Kenapa tidak a, b, atau c, atau d?
Karena ini untuk menghormati matematikawan yang mengusulkan pengunikan itu, yaitu seorang matematikawan yang bernama Euler. sehingga http://www.forumsains.com/cgi-bin/mimetex.cgi?eini juga sering disebut bilangan Euler atau konstanta Euler.[5]


Simbol e untuk dasar logaritma natural (2,71828...) Pertama kali digunakan oleh matematikawan Swiss Leonhard Euler (1707-1783) dalam sebuah naskah 1727 atau 1728 disebut meditatio di Experimenta explosione tormentorum nuper instituta (Meditasi pada percobaan yang dibuat baru-baru ini penembakan meriam). Dia adalah semua dari 21 pada saat itu. Euler juga digunakan simbol dalam surat yang ditulis pada tahun 1731, dan e membuatnya menjadi cetak tahun 1736, di Mechanica Euler.
Beberapa menganggap e dimaksudkan untuk berdiri untuk "eksponensial"; lain telah menunjukkan bahwa Euler bisa saja bekerja menerobos alfabet, dan huruf a, b, c, dan d sudah menggunakan matematika umum. Apa yang tampaknya sangat tidak mungkin adalah bahwa Euler adalah memikirkan namanya sendiri, meskipun kadang-kadang disebut e adalah nomor Euler.
Euler bukanlah penemu e angka, meskipun ia memberikan simbol matematika e. Adanya e adalah implisit dalam Yohanes Makasar 1614 bekerja pada logaritma, dan logaritma alami kadang-kadang dijuluki inexactly logaritma Napierian. Konstanta 2,71828. . . dirujuk dalam terjemahan bahasa Inggris Edward Wright kerja Napier pada tahun 1618.
Euler minat dalam e berasal dari usaha untuk menghitung jumlah yang akan dihasilkan dari bunga majemuk terus pada jumlah uang. Batas untuk kepentingan peracikan, pada kenyataannya, yang dinyatakan oleh e konstan. Jika Anda berinvestasi $ 1 pada tingkat bunga 100% per tahun dan bunga majemuk terus, Anda akan memiliki $ 2,71828. . . pada akhir tahun.
Euler merancang rumus berikut untuk menghitung e:
e = 1 + 1 / 2 + 1 / (2 x 3) + 1 / (2 x 3 x 4) + 1 / (2 x 3 x 4 x 5) +. . .
atau, dalam notasi yang lebih tepat:
rumus: untuk n = 0 hingga tak terbatas, penjumlahan 1 / n!
Klik di sini untuk sebuah applet yang menghitung menggunakan rumus e Euler ke sejumlah iterasi tertentu.
Rumus muncul di 1748 nya Introductio di analysin infinitorum , seperti halnya rumus yang terkenal:


5.      Identitas Euler
Dalam analisis matematika, Identitas Euler adalah persamaan
e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!
Di mana persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:
  • 0\,\!adalah identitas penjumlahan,
  • 1\,\!adalah identitas perkalian,
  • e\,\!adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya adalah mendekati 2.71828182845905,
  • i\,\!adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah -i\,\!), dan
  • \pi\,\!adalah Pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya adalah mendekati 3.14159265358979.
Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetik yaitu penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.
Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.
Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik (1, 0) pada bidang kompleks sebesar 180°radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar 1 searah sumbu X. Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal (0, 0).

Bukti
Identitas Euler dapat dibuktikan menggunaan formula:
e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!
dengan mensubtitusikan x dengan π didapat:
e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!
e^{i\pi} = -1 + i 0 \,\!
e^{i\pi} = -1 \,\!
Sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:
6.      Revolusi bilangan e

Bilangan e relatif bilangan yang baru dikenal. Istilah yang lazim untuk menyebut bilangan ini adalah bilangan logaritma alam. Bilangan e tergolong bilangan transedental yang dimana pertama kali keberadaannya disebutkan oleh [Joseph] Liouville (1809 – 1882). Besarnya bilangan ini adalah limit dari ekspresi (1 + 1/n) yang mempunyai pangkat n, dimana n terus meningkat sampai tak terhingga.
Pernyataan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:
E = lim (1+i/n)n = 2,718281828
         n→∞

Kisah

Simbol bilangan e pertama kali digunakan oleh [Leonhard] Euler dalam karya-karyanya yang ditulis pada tahun 1727-1728, ketika dia masih di St. Petersburg dan dimunculkan lagi pada tahun 1731. Dalam bukunya Mechanica yang terbit pada tahun 1736, bilangan e sudah muncul sendirian, yang mungkin terinspirasi oleh kara eksponensial. Untuk menghormati Euler, maka e terus dipakai sampai sekarang.
Tahun 1757, Euler menentukan bahwa e adalah bilangan irrasional, disusul pada tahun 1873, [Charles] Hermite membuktikan bahwa bilangan e adalah bilangan transedental.[8]

7.      Bilangan-Bilangan Euler

Hari2 ini, aku jadi sering harus main2 dengan SMS gateway, dan bikin aplikasi web mini dengan itu. Tentu dengan PHP dan MySQL lagi. Dan sebenernya aku ragu, apa scripting dengan PHP masih bisa kita anggap bagian dari programming, seperti zaman kita dulu masih boleh sering2 main2 dengan C++. Batasnya “etika”-nya apa sih? :) Aku selalu berpikir bahwa programming harus agak mengandung hacking, dengan meletakkan kreativitas personal ke dalam kode; yang membuat program ciptaan seorang programmer jadi suatu yang akan berbeda dengan program programmer lain. Atau mungkin aku — seperti biasa — salah menggunakan istilah lagi :).
Dengan bahasa C, aku pernah membandingkan deret untuk menghitung nilai e dan π. Tentu bilangan natural e melejit lebih cepat ke nilai asimptotiknya. Soalnya aku waktu itu cuma menghitung π sebagai arc tan 1 yang dideretkan sebagai 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 dst. Padahal mungkin programmer lain bisa lebih cepat dengan menggunakan π3/32 = 1 – 1/33 + 1/53 – 1/73 + 1/93 dst.
π3/32 diambil dari π3/(16*2!). Dan ini bisa dilanjutkan ke pangkat ganjil yang lain. Jadi:
π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 …
π3/(42*2!) = 1 – 1/33 + 1/53 – 1/73 + 1/93
5*π5/(43*4!) = 1 – 1/35 + 1/55 – 1/75 + 1/95
61*π7/(44*6!) = 1 – 1/37 + 1/57 – 1/77 + 1/97
1385*π9/(45*8!) = 1 – 1/39 + 1/59 – 1/79 + 1/99
50521*π11/(46*10!) = 1 – 1/311 + 1/511 – 1/711 + 1/911
Deret angka 1, 1, 5, 61, 1385, 50521, 2702765, 199360981, 19391512145, dan seterusnya itu disebut dengan bilangan-bilangan Euler (Euler numbers). Dia berasal dari sesuatu yang disebut permutasi zigzag. Permutasi zigzag itu kemungkinan kita menderetkan n bilangan p yang berbeda, dengan p1 < p2 > p3 < p4 > dst sampai bilangan n. Dengan kata lain, pi < pi+1 jika i ganjil, dan pi > pi+1 jika i genap. Bolak balik. Zigzag. Untuk n=0, 1, dan 2, tentu hanya ada satu kemungkinan; untuk n=3 ada 2 kemungkinan; untuk n=4 ada 5 kemungkinan; lalu 16, 61, 272, 1385, dan seterusnya. Nah, kita ambil yang genap saja untuk bilangan Euler kita.[9]

Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekivalen; sebagain ada dibawah.
Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah:
e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352
Definisi
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}
\lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x
8.      Angka-angka euler
Angka-angka Euler, juga disebut nomor sekan atau zig nomor , didefinisikan untuk | X | <pi / 2 oleh
sechx-1 =- (E_1 ^ * x ^ 2) / (2!) + (E_2 ^ * x ^ 4) / (4!) - (E_3 ^ * x ^ 6) / (6 !)+...

secx-1 = (E_1 ^ * x ^ 2) / (2!) + (E_2 ^ * x ^ 4) / (4!) (E_3 ^ * x ^ 6) / (+ 6 !)+...,

mana sech (z)adalah garis potong hiperbolis dan detik adalah garis potong . Nomor Euler Vmemberikan jumlah ganjil bolak permutasi dan terkait dengan angka Genocchi . Basis e dari logaritma alami kadang-kadang dikenal sebagai nomor Euler.
Sebuah semacam berbeda dari jumlah Euler, jumlah Euler dari kompleks terbatas K, Didefinisikan oleh
chi (K) = jumlah (-1) ^ lelucon (C_p (K)).

Euler nomor ini adalah topological.
Untuk membingungkan masalah lebih lanjut, karakteristik Euler kadang-kadang juga disebut "Euler nomor," dan nomor yang dihasilkan oleh polinomial prima yang menghasilkan n ^ 2-n +41kadang-kadang disebut "nomor Euler" (Flannery dan Flannery 2000, hal 47).
Beberapa nilai dari (garis potong) nomor Euler adalah
E_1 ^ *
=
1
E_2 ^ *
=
5
E_3 ^ *
=
61
E_4 ^ *
=
1385
E_5 ^ *
=
50521
E_6 ^ *
=
2702765
E_7 ^ *
=
199360981
E_8 ^ *
=
19391512145
E_9 ^ *
=
2404879675441
E_ (10) ^ *
=
370371188237525
E_ (11) ^ *
=
69348874393137901
E_ (12) ^ *
=
15514534163557086905
(Sloane A000364 ).
Konvensi sedikit berbeda didefinisikan oleh
E_ (2n)
=
(-1) ^ ^ * NE_n

E_ (2n +1)
=
0

sering digunakan. Ini adalah, misalnya, angka Euler dihitung oleh Mathematica fungsi EulerE [n]. Definisi ini memiliki definisi yang sangat sederhana seri
sechx = sum_ (k = 0) ^ infty (E_kx ^ k) / (K!)

dan setara dengan
E_n = 2 ^ nE_n (1 / 2),

mana E_n (x)adalah polinomial Euler .
Jumlah digit desimal dalam E_nuntuk n = 0, 2, 4, ... adalah 1, 1, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... (Sloane A047893 ). Jumlah digit desimal dalam E_ (10 ^ n)untuk n = 0, 1, ... adalah 1, 5, 139, 2372, 33699, ... (Sloane A103235 ).
Beberapa pertama perdana nomor Euler E_nterjadi untuk n = 4, 6, 38, 454, 510, ... (Sloane A103234 ) sampai batas pencarian n = 28688(Weisstein, 21 Maret 2009). Ini sesuai dengan 5,, 61 23489580527043108252017828576198947741, ... (Sloane A092823 ). E_ (510)itu terbukti perdana oleh D. Broadhurst pada tahun 2002.
Angka Euler memiliki seri asymptotic
E_ (2n) ~ (-1) ^ n8sqrt (n / pi) ((4n) / (pie)) ^ (2n).

Serangkaian asymptotic lebih efisien diberikan oleh
E_ (2n) ~ (-1) ^ n8sqrt (n / pi) ((4n) / (pie) (480n ^ 2 +9) / (480n ^ 2-1)) ^ (2n)

(P. Luschny, pers. Comm, 2007.).
Memperluas (E-i) ^ nbahkan untuk nmemberikan identitas
(Ei) ^ n = {0 untuk n bahkan;-iT_ ((n +1) / 2) untuk n ganjil.

di mana koefisien E ^ nditafsirkan sebagai | E_n |(Ely 1882; Fort 1948; Trott 2004, hal 69) dan T_nadalah nomor tangen .
Stern (1875) menunjukkan bahwa
E_k = E_l (mod 2 ^ n)

jika f k = l (mod 2 ^ n). Hasil ini sebelumnya telah dinyatakan oleh Sylvester pada tahun 1861, tetapi tanpa bukti.
Shanks (1968) mendefinisikan generalisasi dari angka Euler oleh
c_ (a, n) = ((2n) L_a (2n +1)!) / (sqrt (a)) ((2a) / pi) ^ (2n +1).

Di sini,
c_ (1, n) = 1 / 2 (-1) ^ nE_ (2n),

dan c_ (2, n)adalah (2n)!kali koefisien x ^ (2n)dalam serangkaian ekspansi cos x / cos (2x). Sebuah ekspresi yang sama berlaku untuk c_ (3, n), Tapi anehnya tidak untuk c_ (a, n)dengan a> = 4. Tabel berikut memberikan beberapa nilai pertama c_ (a, n)untuk n = 0, 1, ....
suatu
Sloane
c_ (a, n)
1
1, 1, 5, 61, ...
2
1, 3, 57, 2763, ...
3
1, 8, 352, 38528, ...
4
1, 16, 1280, 249856, ...
5
2, 30, 3522, 1066590, ...
6
2, 46, 7970, 3487246, ...
7
1, 64, 15872, 9493504, ...
8
2, 96, 29184, 22634496, ...
9
2, 126, 49410, 48649086, ...
10
2, 158, 79042, 96448478, ...



Top of Form
9.      Konstanta Euler

Selain bilangan euler ada yang namanya Konstanta Euler atau ada yang menyebutnya Konstanta Euler–Mascheroni dinotasikan dengan huruf yunani gamma \gamma yang nilainya mendekati
0,57721566 4901532860 6065120900 8240243104 2159335939 9235988057 6723488486 7726777664 6709369470 6329174674 9514631447 2498070824 8096050401 4486542836 2241739976 4492353625 3500333742 9373377376 7394279259 5258247094 9160087352 0394816567
Nilai tersebut merupakan hasil dari \gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{i}-\ln n\right). Konstanta Euler sering muncul dibanyak integral, sebagai contoh
-\int_{0}^{\infty}e^{-x}\ln x\, dx
-\int_{0}^{1}\ln\left(\ln\frac{1}{x}\right)\, dx
\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right)e^{-x}\, dx
\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}-e^{-x}\right)\frac{1}{x}\, dx
Kesemua integral diatas hasilnya adalah \gamma.
Open Problem
Sampai detik ini belum diketahui apakah \gamma rasional atau irasional. Andaikan \gamma rasional atau dengan kata lain berbentuk pecahan \frac{a}{b} maka haruslah b>10^{242080}



10.  bahkan euler sekalipun pernah salah
Leonhard Euler (1707-1783), boleh dibilang adalah bapak dari matematika modern. Dialah yang menemukan teorema-teorema penting bagi kalkulus dan teori graph. Dia juga lah yang memperkenalkan notasi-notasi dan istilah-istilah matematika yang kita gunakan pada saat ini.
Pada tahun 1769, Euler membuat dugaan (conjecture) yang berkata
Tidak ada bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan
{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}}
atau
{\displaystyle a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=d^{5}}
Dalam bentuk umum berbunyi
Tidak ada bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan
{\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}^{n}=b^{n}}
Tapi pada tahun 1966, Lander dan Parkin menemukan counter example untuk n=5
{\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}}
dan pada tahun 1986 ditemukan lagi counter example untuk n=4 oleh Noam Elkies
{\displaystyle 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}}
Dalam matematika jika kita bisa menemukan counter example, contoh yang bertentangan dengan suatu dalil, maka dalil tersebut akan gugur. Nah karena ada counter examplenya maka dugaan si Om euler ini salah.
Pesan moral
Jangan takut berbuat salah, melakukan kesalahan adalah hal yang manusiawi bahkan orang sekaliber Euler pun pernah melakukan kesalahan.
(lho..kok saya jadi sok bijak gini ya :mrgreen:)


11.  Persamaan euler dan penjumlahan trigonometri
Masih inget gak rumus penjumlahan sinus dan cosinus yang dipelajari waktu sma?
Sin(A+B)=Sin(A)Cos(B)+Cos(A)Sin(B)
Cos(A+B)=Cos(A)Cos(B)-Sin(A)Sin(B)
Lalu yang dimaksud dengan persamaan euler adalah
e^{i\theta}=Cos(\theta)+iSin(\theta)
mengenai persamaan euler udah pernah saya bahas secara ditail di postingan saya yang berjudul persamaan matematika yang paling cantik
Lalu apa hubungan persamaan euler dengan penjumlahan sinus dan cosinus?
Percaya gak kalo kita bisa membuktikan penjumlahan sinus dan cosinus melalui persamaan euler
Perhatikan ya..
e^{i\theta}=Cos(\theta)+iSin(\theta)
Kemudian kita ganti \thetadengan (A+B), kita lihat apa akan yang terjadi
e^{i(A+B)}=Cos(A+B)+iSin(A+B)
Kita tahu bahwa
e^{i(A+B)}=e^{(iA+iB)}=e^{iA}e^{iB}
Maka
e^{iA}e^{iB}=(Cos(A)+iSin(A))(Cos(B)+iSin(B)
=
Cos(A)Cos(B)+iSin(A)Cos(B)+iCos(A)Sin(B)-Sin(A)Sin(B)
=
(Cos(A)Cos(B)-Sin(A)Sin(B))+i(Sin(A)Cos(B)+Cos(A)Sin(B))
Bisa kita lihat bahwa persamaan di bagian real adalah rumus penjumlahan cosinus dan persamaan di bag imajiner adalah rumus penjumlahan cosinus.
Gmana keren kan? Atau malah bingung, gak ngerti hehe.. :mrgreen:





12.    PERSAMAAN MATEMATIKA YANG PALING CANTIK
Warning: Tulisan agak berat dibutuhkan pemahaman kalkulus, variabel kompleks, dan trigonometry untuk bisa ngerti tulisan gw, tapi kalo lo gak ngerti ke tiga-tiganya lo cukup percaya ama gw, apa yang gw tulis bener ;-)
Banyak Matematikawan yang beranggapan bahwa persamaan matematika yang paling cantik yang permah ada the Most Beautiful Equation ever adalah
e^{i\pi}+1=0
persamaan tersebut terkadang disebut identitas euler euler’s identity
Gmana? apa lo pernah liat tu persamaan? Atau baru kali ini ngeliat?
Nah, sekarang gw bakal ngebuktiin persamaan tersebut bener.
ambil
z=cos\theta+isin\thetapersamaan di bilangan complex
lalu kita turunin diperoleh
\frac{dz}{d\theta}=-sin\theta+icos\theta
Padahal iz=icos\theta-sin\theta=-sin\theta+icos\thetainget i^2=-1
jadi
\frac{dz}{d\theta}=iz
\int\frac{dz}{z}=\int id\theta
ln z=i \theta+C
z=e^{i\theta+C}
Sekarang kita nyari nilai konstanta C karena z=cos\theta+isin\thetanilainya satu untuk \theta=0maka nilai C adalah nol. Maka persamaan kita menjadi
z=cos\theta+isin\theta=e^{i\theta}
Yang disebut dengan persamaan euler.
Nah sekarang kita ambil nilai\theta=\pi diproleh
-1=cos\pi+isin\pi=e^{i\pi}
-1=e^{i\pi}
Dan akhirnya kita dapet
e^{i\pi}+1=0
the Most Beautiful Equation ever
Kenapa itu disebut persamaan yang paling cantik?
Karena ke-5 bilangan paling penting dalam matematika ada disitu e,i,1,o.\pidan menggunaka 3 operasi terpenting dala matematika penjumlahan perkalian dan eksponensial, gak ada yang lain
Simple sederhana dan yang terpenting Benar
Ada yang bilang persamaan tersebut mengandung makna filosofi dan spritual. Bisa lo bayangin perpaduan antara bilangan real dan imajiner menghasilkan kosong . Jadi kekosongan, kehampaan dihasilkan dari perpaduan antara kenyataan dan imajinasi. Buat yang suka filsafat persamaan tersebut bakal sangat menarik buat lo.
13.   PERSAMAAN EULER SALAH??
Kita tahu persamaan euler berkata
{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+\sin(x)i}
kita masukkan 2\pidiperoleh
{\displaystyle e^{i2\pi}=\cos(2\pi)+\sin(2\pi)i}
{\displaystyle e^{i2\pi}=1}
Nah..sekarang kita pangkatkan 1/2 pada kedua sisi diperoleh
{\displaystyle (e^{i2\pi})^{1/2}=1^{1/2}}
{\displaystyle e^{i\pi}=1}
{\displaystyle \cos(\pi)+\sin(\pi)i=1}
{\displaystyle -1=1}
Hayoo..kenapa bisa begitu ada yang tau gak?
Nah..kenapa bisa begitu? dalam kalkulus kompleks ada yang dinamakan rumus de moivre De Moivre’s formula yang berkata
{\displaystyle (\cos(x)+\sin(x)i)^{n}=\cos(nx)+\sin(nx)i}
untuk nbilangan bulat
Pada kasus diatas n-nya bukan bilangan bulat makanya rumus de moivre tidak bekerja..

14.                 e - nomor yang paling misterius dalam matematika
Swiss lahir Leonhard Euler (1707-1783) barangkali adalah ahli matematika yang paling produktif sepanjang masa dan ia analitik modern geometri dan trigonometri apa yang 'Elemen' Euclid yang telah dilakukan untuk geometri kuno.
Dia menemukan persamaan yang paling luar biasa di semua matematika, yang melibatkan angka "e".

e - nomor yang paling misterius dalam matematika

Dari ilmu komputer statistik, jumlah e adalah di mana-mana dalam ilmu-ilmu matematika.
Pengertian "e" pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1731.

e adalah simbol untuk dasar logaritma alami. Seiring dengan pi, e telah mengubah pemahaman kita tentang konsep angka. Jauh dari yang diciptakan oleh matematikawan, baik angka ada di kanan dan mereka sendiri muncul di seluruh dunia alami. e memainkan peran penting dalam menggambarkan tentang bagaimana kemajuan peluruhan radioaktif, dalam proses-proses yang mendasari aturan slide, dll

e dan pi adalah transendental kedua contoh angka, jenis nomor kompleksitas yang membingungkan adalah sangat antitesis dari sehari-hari biasa bilangan bulat 0, 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Sedangkan bilangan bulat mudah bagi manusia untuk memahami, nomor transendental jauh lebih sulit untuk dijabarkan.
Semua nomor transendental bilangan irasional. Tetapi sebaliknya tidak benar, ada beberapa bilangan irasional yang tidak transendental.

Definisi dari nomor transendental
e dan pi adalah contoh irrationals khusus yang dikenal sebagai bilangan transendental. Sebuah nomor transendental sama sekali tidak berhubungan dengan bilangan bulat oleh setiap urutan operasi aritmatika biasa. Anda dapat berlipat ganda dengan sendirinya sebanyak yang Anda inginkan, menggabungkan kekuatan ini dan membagi dan kalikan integres dalam mode apa pun yang Anda inginkan, tetapi Anda tidak akan pernah tiba kembali di wilayah yang akrab bilangan bulat. Ini adalah definisi dari sebuah nomor transendental.

Bahkan angka-angka seperti akar kuadrat dari 2 adalah jinak dibandingkan dengan transendentalia. Dengan definisi jika Anda mengalikan akar kuadrat dari 2 dengan sendirinya hasilnya adalah 2 - nomor biasa, atau sebuah integer. Jadi kita kembali ke bilangan bulat setelah hanya satu langkah. Tetapi e dan pi berbeda, tidak ada perhitungan biasa akan menghubungkan mereka kembali ke nomor biasa.
Ini adalah kejeniusan swiss besar ahli matematika Leonhard Euler untuk mencari cara untuk mengikat beberapa nomor transendental menjadi satu persamaan seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Untuk matematikawan persamaan Euler menjadi sama pentingnya dengan persamaan yang lebih terkenal dari Einstein adalah untuk fisikawan.
Dalam satu persamaan menakjubkan e Euler diikat ke empat numerik fundamental lain entitas 0, 1, pi, dan i. e sebagai simbol untuk dasar logaritma alam; i untuk akar kuadrat dari -1, dan pi untuk rasio keliling terhadap diameter dalam lingkaran - ketiga nomor transendental (yang bersifat non-terminating) yang berarti mereka tidak tepat didefinisikan, tetapi - nyaris ajaib - dalam persamaan Euler mereka bersatu sebagai keseluruhan tepat didefinisikan!

Euler's formula menjadi penting bagi pemahaman kita tentang jumlah dan exponentiation, dan dirayakan untuk cara yang indah menyatukan lima konstanta dasar matematika.

Setelah menunjukkan bukti persamaan ini matematikawan terkenal mengatakan kepada hadirin:

"Saudara-saudara itu benar-benar paradoks, kita tidak bisa memahaminya, dan kita tidak tahu apa artinya. Tapi kita telah membuktikan hal itu, dan karena itu kita tahu itu adalah thruth." Fisikawan Richard Feynman menggambarkannya sebagai "formula yang paling luar biasa di bidang matematika"

. Prestasi yang luar biasa: untuk matematis bukti sesuatu yang kita belum bisa mengerti!

 

BAB III
PENUTUP


1.     Kesimpulan
Bilangan e adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2.71828 18284 59045 23536..
Dalam analisis matematika, Identitas Euler adalah persamaan
e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!




2.     SARAN
                        Dalam penulisan makalah ini, masih banyak kekurangan kekurangan maka dari itu, penulis mengharapkan semoga para pembaca bisa memberikan masukan kepada penulis. Semoga makalah ini dipergunakan sebaik-baiknya.



DAFTAR PUSTAKA


0 komentar:

Poskan Komentar