HARAPAN MATEMATIK

HARAPAN MATEMATIK

1.     RATAAN PEUBAH ACAK

Nilai harapan atau harapan matematik ini dinyatakan dengan E(X). Rataan atau harga harapan suatu peubah acak dapat diperoleh dengan mengkalikan tiap nilai peubah acak tersebut dengan peluang padanannya dan kemudian menjumlahkan hasilnya. Bila peubahnya kontinu, definisi harapan matematik pada dasarnya sama, yaitu menggantikan penjumlahan dengan integral.

Bila dua uang logam dilantunkan 16 kali dan X menyatakan banyaknya muncul muka pada tiap lantunan, maka X dapat bernilai 0, 1, dan 2. Misalkan percobaan itu menghasilkan tidak ada muka, satu muka, dan dua muka, masing-masing sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rataan banyaknya muncul muka tiap lantunan adalah :

Perhatikan, bilangan 4/16, 7/16, dan 5/16 adalah frekuensi nisbi untuk masing-masing hasil. Rataan banyaknya muka muncul pada tiap lantunan yang diharapkan terjadi dalam jangka panjang diistilahkan dengan nilai harapan atau harapan matematik yang dinyatakan dengan E(X).

Definisi 2.12 :

Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan X atau harapan matematik X adalah

  

CONTOH :

 Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan  dan 3 ahli biologi.

Jawab: 

 Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia.

              X = {0, 1, 2, 3}

 Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai

Dari perhitungan diperoleh:    

         Dari perhitungan diperoleh:       

 

Dibuat tabel distribusi probabilitas X

                      Tabel 4.1. Distribusi Probabilitas X

x	0	1	2	3
f(x)	1/35	12/35	18/35	4/35

Jadi nilai harapan (rata-rata) banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia  adalah:   

 

Jika terdapat fungsi g(x) dari peubah acak X, yaitu tiap nilai g(x) dapat ditentukan bila diketahui nilai X, maka dapat dinyatakan teorema 2.1 berikut.

Teorema 2.1

Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan fungsi g(X) adalah

Teorema di atas dapat diperluas menjadi definisi 2.13 berikut untuk perhitungan harapan matematik fungsi dengan beberapa peubah acak.

Definisi 2.13

Bila X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x, y), maka nilai harapan fungsi g(X, Y) adalah

Perhatikan bila g(X, Y) = X dalam definisi 2.13, kaitkan kembali dengan distribusi marginal X, maka

di mana g(x) adalah distribusi marginal X. Demikian pula jika h(X, Y) = Y,

di mana h(y) adalah distribusi marginal Y.

SIFAT HARAPAN :

Teorema 2.2

Bila a dan b tetapan, maka

Teorema 2.3

Nilai harapan jumlah atau selisih dua atau lebih fungsi suatu peubah acak X sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan fungsi tersebut, yaitu

Teorema 2.4

 Nilai harapan jumlah atau selisih dua atau lebih fungsi peubah acak X dan Y adalah jumlah atau selisih nilai harapan fungsi tersebut, yaitu

Teorema 2.5

Misalkan X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka

2.     VARIANSI DAN KONVARIANSI

2.1.           Variansi

·         Kita sudah memahami bahwa nilai harapan peubah acak X seringkali disebut rataan (mean) dan dilambangkan dengan μ.

·         Tetapi, rataan tidak memberikan gambaran dispersi atau pencaran data. Rataan dari masing-masing peubah acak berbeda mungkin sama, meskipun distribusinya tidak sama. Oleh karena itu diperlukan besaran lain yang menggambarkan sebaran data.

·         Selain rataan, besaran lain yang sangat penting dalam probstat adalah variansi, simpangan baku, dan kovariansi.

Definisi. Misalkan X adalah variabel random dengan distribusi peluang f(X) dan rataan μ. Variansi dari X adalah:

jika X diskrit, dan

jika X kontinu.

Akar kuadrat dari variansi disebut dengan deviasi standar atau simpangan baku dari X dan dilambangkan dengan σ

·         Interpretasi: Nilai x – μ disebut penyimpangan suatu pengamatan dari rataannya. Karena penyimpangan ini dikuadratkan lalu dirata-ratakan, maka σ2 akan lebih kecil untuk kelompok nilai x yang dekat μ dibandingkan dengan kelompok nilai x yang jauh dari μ.

·         Dengan kata lain, jika nilai-nilai x cenderng terkonsentrasi di dekat rataannya, maka variansinya kecil. Sedangkan jika jauh dari rataan maka variansinya besar.

·         Perhatikan bahwa variansi selalu positif (mengapa?), dan simpangan baku adalah akar positif dari variansi.

Contoh 1. Diberikan disribusi peluang sbb:

Hitunglah variansi dari X.

Jawaban:

·         Variansi juga dapat dihitung dengan rumus lain yang lebih mudah, yaitu:

σ2 = E(X2) – μ2

·         Contoh 2.

 Misalkan X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin bila 3 suku cadang diambil secara acak dari proses produksi. Distribusi peluang X:.

Hitunglah variansi dari X

Jawaban:

  

Variansi untuk peubah acak lain yang bergantung pada X, yaitu g(X), diberikan dala teorema di bawah ini.

Teorema.

Misalkan X adalah peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Variansi dari peubah acak g(X) adalah :

Contoh

Hitunglah variansi dari g(X) = 2X + 3, bila X adalah peubah acak dengan distribusi peluang

Jawaban :

            

2.2.         Kovariansi

Misalkan X dan Y adalah variabel random dengan distribusi peluang gabungan f(x, y). Kovariansi dari X dan Y adalah

Jik X dan Y kontinu

·         Interpretasi: Kovariansi antara dua peubah acak menunjukkan sifat asosiasi (hubungan) antara keduanya;

·         Jika kedua peubah tersebut bergerak kearah yang sama (X membesar dan Y membesar) maka hasil kali (X - μx)(Y - μy) cenderung bernilai positif;

·         Jika bergerak kearah berlawanan (X membesar dan Y mengecil), maka hasil kali (X - μx)(Y - μy) cenderung akan bernilai negatif.

·         Tanda kovariansi (+ atau -) menunjukkan apakah hubungan antara kedua peubah acak positif atau negatif.

Kovariansi juga dapat dihitung bila dengan rumus yang lebih mudah sebagai berikut:

                                      

Contoh :

Misalkan X = jumlah ballpoint warna biru, dan Y = jumlah ballpoint warna merah. Bila dua ballpoint diambil secara acak dari kotak, distribusi peluang gabungannya sudah dihitung pada contoh terdahulu, yaitu:

                            

Hitunglah kovariansi dari X dan Y !

Jawaban:

                        

Sifat-Sifat Variansi

a)     Teorema 1. Jika a dan b adalah konstanta maka

Akibat 1: Jika a = 1, maka

Akibat 2: Jika b = 0, maka  

b)     Teorema 2. Jika X dan Y adalah peubah acak dengan distribusi peluang f(x,y) maka

Akibat 1: Jika X dan Y peubah acak saling bebas, maka:

 

Akibat 2: Jika X dan Y variabel random saling bebas, maka:

3.     RATAAN DAN VARIANSI DARI KOMBINASI LINEAR PEUBAH ACAK

Dibawa ini diberikan beberapa sifat yang berguna untuk menyederhanakan perhitungan rata-rata dan variansi

ž  Jika a dan b merupakan konstanta, maka

            E(aX+b) = aE(X)+b

            Bukti:

            Menurut definisi nilai harapan (kasus kontinnyu)

 

          Karena:                                                          

            akibat dari teorema di atas adalah:

• Dengan membuat a=0, kita lihat bahwa E(b)=0
• Dengan membuat b=0, kita lihat bahwa E(aX)=aE(X)

ž  Nilai harapan penjumlahan atau perbedaan dari dua atau lebih fungsi suatu peubah acak X adalah penjumlahan atau perbedaan dari nilai harapan fungsi itu. Dengan kata lain

     E[g(X)±h(X)] = E[g(X)]±E[h(X)]

     Bukti:

     Menurut definisi (kasus kontinnyu)

    

ž  Nilai harapan dari penjumlahan atau perbedaan dua fungsi atau lebih dari peubah acak X dan Y merupakan penjumlahan atau perbedaan dari nilai harapan fungsi itu. Dengan kata lain

     E[g(X,Y)±h(X,Y)] = E[g(X,Y)]±E[h(X,Y)]

      Bukti:

     Menurut definisi (kasus kontinnyu)

 

      Analog untuk kasus diskrit

     Akibatnya: 

                 1. Jika                                                           maka diperoleh:

 

2. Jika                                                    maka diperoleh

ž  Akibat dari teorema di atas adalah

§  Dengan membuat g(X,Y) = g(X) dan h(X,Y) = h(Y) kita lihat bahwa  E[g(X)±h(Y)]=E[g(X)]±E[h(Y)]

§  Dengan membuat g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, kita lihat bahwa E(X±Y) = E(X) ± E(Y)

ž  X dan Y adalah dua peubah acak bebas, maka

E(XY) = E(X)E(Y)

Bukti:

            Menurut definisi  diatas (kasus kontinnyu)

 

Karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis                            Dimana g(x) dan h(x) merupakan distribusi pias, sehingga

 

ž  Jika a dan b konstanta sembarang, maka         

Bukti:

Menurut definisi,

Dan

Sehingga :

 

            Akibatnya:     1. Jika a=1, maka       

                                    2. Jika b=0, maka

ž  Jika X dan Y perubah acak dengan distibusi probabilitas f(x,y)  maka

4.     TEOREMA CHEBYSHEV

Probabilitas dari sembarang peubah acak m X dalam selang k simpangan baku dari rataan sekurang-kurangnya 1 – 1/k2, atau

Bukti :

Bukti dari Teorema Chebyshev (Lanjutan):

Sekarang karena |x-μ|≥ kσ, maka berlaku (x-μ)2 ≥ k2σ2, sehingga kedua suku terakhir dapat dituliskan sebagai berikut:

Sehingga diperoleh

Contoh Penggunaan Teorema Chebyshev:

Peubah acak X mempunyai rataan μ=8 dan variansi _ 2 = 9, serta distribusi peluang tidak

diketahui. Tentukan P(-4 < x < 20).

Jawab :

SOAL DAN PEMBAHASAN

1.      Sebuah panitia beranggotakan 3 orang dipilih secara acak dari 4 orang mahasiswa STI dan 3 orang mahasiswa IF. Hitung variansinya.

Jawab :

2.      Misalkan X menyatakan permintaan minyak goring (dalam liter) menjelang hari raya.  Fungsi padat dari X sebagai

berikut:

Cari rataan dan variansi X.

3.      Hitunglah variansi dari g(X) = 2X + 3, bila X adalah peubah acak dengan distribusi peluang

JAWAB

4.      X bagian pelari pria dan Y bagian pelari wanita yang menempuh lomba maraton mempunyai distribusi peluang gabungan

JAWAB :

5.      Jika X dan Y adalah peubah acak dengan variansi σ2 X = 2, σ2 Y = 4 dan kovariansi σXY = -2, hitunglah variansi dari peubah acak Z = 3X – 4Y + 8.

JAWAB :

6.      Dalam sebuah permainan dengan dadu, seorang pemain mendapat hadiah Rp20 jika muncul angka 2, Rp40 jika muncul angka 4, membayar Rp30 jika muncul angka 6, sementara pemain itu tidak menang atau kalah jika keluar angka yang lain. Berapa harapan kemenangannya?

Jawaban:

Misalkan X menyatakan peubah acak yang menyatakan jumlah uang yang dimenangkan. Nlai X yang mungkin adalah 0, 20, 40, dan -30. Setiap angka dadu mempunayi peluang yang sama, 1/6.

7.      Tiga uang logam dilempar secara bersamaan. Pemain mendapat Rp5 bila muncul semua sisi angka (A) atau semua sisi gambar (G), dan membayar Rp3 bila muncul sisi angka satu atau dua. Berapa harapan kemenangannya?

JAWAB :

8.      Sebuah panitia beranggotakan 3 orang dipilih secara acak dari 4 orang mahasiswa STI dan 3 orang mahasiswa IF. Berapa nilai harapan banyaknya mahasiswa STI yang terpilih dalam panitia tersebut?

JAWAB :

Misalkan X menyatakan jumlah mahaiswa yang terpilih dalam panitia tersebut. Nilai X yang mungkin adalah 0, 1, 2, dan 3. Distribusi peluang X adalah

9.      Sepasang dadu dilemparkan. Tentukan nilai harapan jumlah angka yang muncul.

Jawaban:

10.  Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X  perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu, yang dinyatakan dalam bentuk berikut:

JAWAB :

menurut definisi

 

  Jadi bolam lampu tersebut dapat diharapan (rata-ratanya) berumur 200 jam

11.  Jika X perubah acak dengan fungsi probabilitas seperti contoh (4.5), maka cari variansi perubah acak g(X) = 4X + 3

JAWAB :

Dari contoh (4.5) diperoleh;

Menggunakan teorema (4.3) pada kasus ini diperoleh:

 

Jadi variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 adalah:

 

12.  Suatu peubah acak X mempunyai rataan µ=8, variasi        = 9, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Hitunglah

a. P(-4<X<20), dan b P(              6 ).

Jawab :

a. P(-4<X<20) = P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)]   15/16

b. P(              6 ) = 1–P(               < 6)

   = 1–P(-6 < X -8 < 6)

                           = 1–P[8-(2)(3)<X< 8+(2)(3)]   ≤ 1/4

13.  Sepasang dadu dilemparkan. Tentukan nilai harapan jumlah angka yang muncul.

Jawab :

Misalkan: X menyatakan angka yang muncul pada dadu pertama Y menyatakan angka yang muncul pada dadu kedua

Ditanya: berapa E(X + Y)?