PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG

1.      PENGERTIAN PEUBAH ACAK

Peubah Acak (Random Variable): Sebuah keluaran numerik yang merupakan hasil dari percobaan (eksperimen). Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata. Untuk setiap anggotadari ruang sampel percobaan, peubah acak bias mengambil tepat satu nilai. Peubah Acak X adalah fungsi dari S ruang sampel ke

bilangan real R, X : S        R

Peubah Acak dituliskan sebagai huruf kapital (X, Y, Z). Nilai-nilai tertentu yang merupakan keluaran percobaan dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z)

Contoh :

Menjawab soal multipel choice 2 kali

S = {SS, SB, BS, BB}

X : Peubah Acak banyaknya jawaban benar, maka X = {0,1,2}

DISTRIBUSI PELUANG

Distribusi Peluang adalah tabel, gambar, atau persamaan yang menggambarkan atau mendeskripsikan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak dan peluang yang bersesuaiannya (Peubah Acak Diskrit) atau kepadatan (Peubah Acak Kontinu)

Distribusi Peluang

·         Peluang Diskrit dituliskan sebagai: p(y) = P(Y=y)

·         Kepadatan Kontinu dituliskan sebagai: f(y)

·         Fungsi Distribusi Kumulatif: F(y) = P(Y≤y)

·         Cumulative Distibution Function (cdf)

a)      Distribusi Peluang Diskrit:

Ø  Memberikan peluang kepada tiap keluaran percobaan

Ø  Merupakan probabiliy mass functions (pmf)

b)      Distribusi Peluang Kontinu:

Ø  Memberikan kepadatan (frekuensi) pada tiap titik Assigns, peluang pada selang bisa didapatkan dengan mengintegralkan fungsi.

2.      DISTRIBUSI PELUANG DISKRET

Definisi

Peubah acak diskret adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai - nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.

Dalam kasus pelantunan koin tiga kali, peubah X yang Menyatakan banyaknya H muncul akan memberikan peluang 3/8 untuk x=2.

Untuk kasus pengembalian helm, peluang tidak satu pun pegawai mendapatkan helm yang benar, yakni m=0, adalah 2/6=1/3. Kita bias membuat table berikut:

Nilai m menyatakan semua kasus yang mungkin terjadi, sehingga seluruh peluang akan berjumlah 1. •Sering kali lebih praktis menyatakan semua kemungkinan peubah acak X kedalam formula. Jadi kita tuliskan f(x) = P(X=x) , misalnya f(3) = P(X=3)

Fungsi atau sebaran peluang

Def.2.4:

Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran peluang dari peubah acak X jika, untuk setiap hasil yang muncul x berlaku :

1.      f(x) ≥

2.      Σxf(x) =

3.      P(X=x) = f(x)

Contoh2.3:

 Tentukan sebaran peluang dari jumlah sepasang mata dadu jika dilantunkan

Jawab:

 Andaikan X peubah acak yang nilainya x merupakan jumlah pasangan mata dadu. Maka x akan bernilai dari 2 sampai12. Sepasang dadu akan memiliki kombinas imuncul sebanyak 6⋅6 = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1/36.

FUNGSI SEBARAN KUMULATIF

Definisi  

Fungsi sebaran kumulatif atau lebih sering disebut fungsi sebaran F dari peubah acak X, didefiniskan untuk semua bilangan nyata b, -∞ < b < ∞, dengan

     F(b) = P(X ≤ b)

           

Beberapa sifat dari fungsi sebaran :

u F adalah fungsi yang tidak turun, artinya  jika a < b maka F(a) ≤ F(b)

 

u F adalah fungsi yang kontinu dari kanan. Artinya, untuk setiap b dan setiap barisan yang menurun b_n, n≥1, yang konvergen ke b,

 

Contoh

2.4  dan2.5:

Suatu koin dilantunkan empat kali.

Tentukan:

1) formula sebaran peluang munculnya H yaitu f(x)

2) sebaran kumulatif F(x) nya

Jawab:

1.      Jumlah titik cuplik anada 24 = 16. Jika x menyatakan banyaknya muncul H, akan ada kombinasi sebanyak C(4,x). Dengan demikian f(x) = C(4, x)/16, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4

f(0) = (4!/4!)/16 =1/16

 f(1)=(4!/3!)/16 = 4/16

 f(2) = (4!/(2!2!))/16 = 6/16

 f(3) = f(1)

 f(4)= f(0);

2.      Berdasarkan Def.2.5, diperoleh: F(0) = f(0) = 1/16; F(1) = f(0) + f(1) = 5/16; ... dst

3.      Dengan demikian

                 

Sebaran peluang dlm bentuk grafis

Dari contoh2.4: f(x) = C(4, x)/16

       

                      

3.      DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

Arti kerapatan peluang (kontinyu)

·         Tinjau sebaran tinggi badan dari orang berumur 21 thn. Antara sebarang dua nilai, mis. 163.5 –164.5, ada tak hingga macam tinggi badan.

Ø  Peubah acak kontinyu memiliki peluang nol untuk suatu nilai eksak dari peubah acak ini.

P (a < X ≤ b )  = P ( a < X < b ) + P ( X = b )

= P ( a < X < b )+ 0

Ø  Jadi, tidak ada bedanya mengikutkan titik ujung dalam perhitungan ini atau pun tidak.

·         Peubah acak kontinyu tidak dapat ditampilkan secara tabular, namun bias dinyatakan dalam rumus.

·         Peubah acak kontinyu dinyatakan dalam suatu fungsi rapat peluang f(x)

Fungsi rapat peluang kontinyu

·         Suatu fungsi rapat peluang dibentuk sedemikian hingga integrasi daerah dibawah kurva keseluruh X memberikan luas sebesar satu.

          

·         Penentuan nilai peluang dalam rentang peubah acak antara a dan b.

Def. fungsi rapat peluang kontinyu

Def.2.6: Suatu fungsi f(x) adalah fungsi rapat peluang untuk peubah acak kontinyu X yang didefinisikan keseluruh himpunan bilangan riil R, jika :

1.      F (x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R

2.      ∫∞-∞ f(x) dx= 1

3.      P ( a < X < b ) =  ∫ba f(x) dx

Contoh:

Andaikan peubah acak X memiliki fungsi rapat peluang: f(x) = x2/3 ; -1<x<2 dan f(x)=0 selain itu. Tentukan:

(1) kondisi2 pada Def.2.6,

(2) Tentukan P(0< X ≤1)

Jawab:

1)      ∫∞-∞f(x) dx= ∫2-1(x2/3)dx = x3/9|2-1=(8/9) + (1/9) = 12)

2)       P(0< X ≤1) = ∫10(x2/3)dx= x3/9|10= 1/9

Sebaran peluang kumulatif kontinyu

Def.2.7: Sebaran peluang kumulatif F(x) dari suatu peubah acak kontinyu X dengan fungsi kerapatan f(x) diberikan oleh

                

Ada dua hasil langsung dari Def.2.7, yaitu:

1) P(a<X<b) = F(b) –F(a)

2) f(x) = dF(x)/dx

Contoh

Soal: Untuk fungsi pada contoh 2.6., tentukanF(x) dan gunakan untuk menghitung P(0< X ≤1)

Jawab:

Oleh karena itu,

P ( 0 < X ≤ 1 ) = F (1) – F (0) = (2/9) –(1/9) = 1/9

4.      DISTRIBUSI EMPIRIS

Sebaran frekuensi relative

·         Dalam percobaan, sering kali fungsi rapat peluang f(x) untuk peubah acak kontinyu X tidak diketahui.

·         Pemilihan f(x) harus mempertimbangkan setiap informasi yang tersedia dari data.

·         Tinjau sebaran frekuensi relative dari 40 buah umur batere mobil dalamTabel 2.1. Pabrik menjamin adalah 3 tahun.

Tabel2.1Umur batere dalam tahun

           

Andaikan diambil 7 kelas, dengan demikian besar interval adalah (max-min) / kelas = (4.7-1.6) / 7 = 0.443. Tabel2.2 menunjukkan sebaran frekuensi relatif-nya.

Histogram dan estimasi fungsi rapat peluang

·         Bentuk kurva: lingkaran? Hiperbola? Elips? Parabola

f(x) = ax2 + bx+ c, untuka, b, c tertentu?

·         Banyak fungsi kerapatan peluang yang dapat dinyatakan dalam kurva berbentuk lonceng (Gaussian).

Skewness dari data

Sebaran bersifat simetrik (setangkup) atau tak simetrik (skewed).

Sebaran kumulatif

Berdasarkan Tabel 2.2, kita dapat membuat sebaran frekuensi kumulatif dari umur batere, spt pada Tabel 2.3 dan estimasi F(x).

5.      DISTRIBUSI PELUANG GABUNGAN

Peluang gabungan diskrit

·         Jika dimensi ruang cuplikan lebih dari satu, misalnya hasil pengukuran dua besaran P dan V yang dinyatakan sbg (p, v), kita sebut sebaran peluangnya sebagai sebaran peluang gabungan.

·         Def.2.8:

Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan dari dua peubah diskrit X dan Y jika 1. f(x,y)  ≥ 0 untuk seluruh (x,y)

2.Σx Σy f (x,y) = 1

3.P [(X,Y)∈A ] = ΣΣ_A f(x,y ) untuk sebarang daerah A dalam bidang xy.

Contoh2.8

Soal:

Suatu kotak berisi tiga refill (tinta isian) berwarna biru, dua refill merah, dan3 refil hijau. Akan diambil dua refill secara acak dari kotak tsb. Jika X menyatakan jumlah refill biru, dan Y jumlah refill merah, tentukan:

(1) fungsi peluang gabungan f(x,y)

(2) P[(X,Y)∈A], dimana A adalah daerah {(x,y)|x+ y≤1}.

Jawab:

Pasangan (x,y) yang dapat muncul adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0). Tinjau f(0,1) yang menyatakan peluang terpilihnya refill merah dan hijau (karena refill biru nol). Jumlah total kombinasi terpilihnya dua refill dari delapan buah refill yang ada didalam kotak adalah C(8,2) = 8!/(6!)(2!)=8⋅7/2=28. Cacah kombinasi terpilihnya satu dari dua refill berwarna merah dan satu dari tiga refill hijau adalah C(2,1)⋅C(3,1) = 2⋅(3!/2!) = 6. Dengan demikian, f(0,1) = 6/28 =3/14. Dengan cara yang sama, nilai f(x,y) untuk seluruh rentang nilai diskrit x dan y yang mungkin dapat ditentukan. Hasilnya ditampilkan padaTabel2.4 berikut ini

Tabel2.4 Sebaranpeluanggabungan.

2). P[(X,Y)∈A] = P(X + Y≤1)

 = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)

 = 3/28 + 3/14 + 9/28

 = 9/14

Peluang gabungan kontinyu

·         Def.2.9:

Suatu fungsi f(x,y) adalah fungsi kerapatan gabungan dari peubah acak kontinyu X dan Y jika

1.      f(x,y) ≥ 0 untuk semua (x, y)

2.      ∫∫-∞∞ f(x,y)  dx dy = 1

3.      P[(X,Y)∈A] = ∫∫Af(x,y) dx dy

·         Contoh 2.9:

Tinjau fungsi rapat peluang berikut

f(x,y)    =  x(1+3y2)/4;                          0<x<2, 0<y<1

= 0,                                          lainnya

1.      Periksa kondisi padaDef.2.9

2.      Tentukan P[(X,Y)∈A] dimana A adalah daerah{(x,y)| 0<x<1, ¼<y< ½}

                                                     Sebaran peluang marjinal

·         Jika f(x,y) adalah sebaran gabungan dari peubah acak X dan Y, maka sebaran peluang untuk masing-masing peubah acak X dan Y (sebaran marjinal) adalah:

·         Fungsi g(x) dan h(y) disebut sebagai sebaran marjinal dari X dan Y. Bahwa masing-masing benar berupa fungsi sebaran dapat diperiksa berdasarkan Def.2.4. dan Def.2.6. Sbg contoh, untuk kasus kontinyu:

             

Sebaran bersyarat diskrit

·         Kembali ke definisi peluang bersyarat:

P(B|A) = P(A∩B)/P(A),           P(A)>0

Jika A dan B adalah peristiwa yang dimana X=x dan Y=y,

P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y)/P(X=x)

        = f(x,y)/g(x);         g(x) >0

Untuk peubah acak diskrit X dan Y.

·         Dapat ditunjukkan bahwa fungsi f(x,y) / g(x) memenuhi syarat sebagai sebaran peluang dan akan dituliskan sebagai f ( y | x), yakni:

f(y|x) = f(x,y)/g(x),        g(x)>0

dan disebut sebagai sebaran bersyarat dari peubah acak diskrit Y, diberikan  X=x.

·         Dengan cara sama, sebaran bersyarat f ( x | y ) dari peubah acak X jika diberikan Y = y dapat dituliskan sebagai

f(x|y) = f(x,y)/h(y),h(y)>0

Sebaran bersyarat kontinyu

·         Perdefinisi, sebaran rapat peluang bersyarat dari peubah acak kontinyu X, jika diberikan Y=y adalah

F (x|y) = f(x,y) / h(y),               h(y)>0

Sedangkan sebaran rapat peluang bersyarat untuk peubah acak kontinyu Y, diberikan X=x, adalah

f(y|x) = f(x,y)/g(x),g(x)>0

·         Peluang dari peubah acak kontinyui X yang terletak antara a dan b, jika diketahui Y=y, dapat dihitung sbb:

P(a<X<b|Y=y) = ∫abf(x|y) dx

Contoh2.10

Soal:

 Mengacu ke contoh2.8 tentang pengambilan refill tinta, tentukan f(x|1) danP(X=0|Y=1).

Jawab:

 f(x|1) = f(x,1)/h(1), tentukant lebih dulu h(1)

h(1) = Σx=01 f(x,1) = (3/14)+(3/14)+0 = 3/7

Karena itu f(x|1) = (7/3) f(x,1), untuk x=0, 1, 2. Karena itu

f(0|1) = (7/3) f(0,1) = (7/3)(3/14) = ½

f(1|1) = (7/3) f(1,1) = (7/3)(3/14) = ½

f(2|1) = (7/3) f(2,1) = (7/3) (0) = 0

dan sebaran bersyarat untuk X, diberikan Y=1 adalah

Akhirnya, P(X=0|Y=1) = f(0|1) = 1/2

Kebebasan Statistik

·         Contoh 2.12: Tinjau kasus fungsi kerapatan bersama pada

Contoh2.9. Tentukang (x), h(y), f(x|y), danP(1/4<X<1/2|Y=1/3)

·         Jawab:

Berdasarkan definisi kita peroleh

           

Akibatnya

·         Contoh ini memperlihatkan peluang bersyarat f ( x | y ) tidak bergantung pada y. Untuk kasus demikian, dapat ditunjukkan bahwa

            

·         Bukti : substitusikan f(x,y) = f(x|y) h(y) kesebaran marjinal dari X, yakni

            

Karena f ( x | y ) tdk bergatung y, maka peluang bersyarat ini bias dikeluarkan dari integral. Akibatnya

        

Oleh karena itu

         

·         Hasil ini dirangkum dalam definisi berikut :

Def. Kebebasan Statistik

·         Def.2.10:

Andaikan X dan Y dua peubah acak, baik diskret maupun kontinyu, dengan sebaran peluang gabungan f(x,y) dan sebaran marjinal g(x) dan h(y). Peubah acak X dan Y disebut bebas secara statistik, jika dan hanya jika,

f(x,y) = g(x)⋅h(y)

untuk semua nilai (x,y)

·         Peubah acak kontinyu pada contoh 2.12 adalah bebas secar astatistik

·         Peubah acak kontinyu pada contoh 2.11 tidak bebas statistic

·         Berdasarkan contoh 2.8:

f(0,1) = 3/14

g(0) = Σ2y=0f(0,y) = 3/28 + 3/14 + 1/28 = 5/14

h(1) =Σ2x=0f(x,1) = 3/14 +3/14 + 0 = 3/7

Jelas bahwa f(0,1) ≠g(0)⋅ h(1), dengan demikian X danY dalam contoh2.8 tidak bersifat bebas secara statistic

Generalisasi ke n-buah peubah acak

·         Hasil-hasil yang diperoleh dari 2-buah peubah acak dapat di-generalisasi ken-buah peubah acak. Tinjau fungsi peluang bersama f(x1, x2, …, xn) dari peubah acakX1, X2, …, Xn.

·         Sebaran marjinal untuk X1diberikan oleh :

·         Sebaran marjinal gabungan φ(x1, x2)

·         Sebaran gabungan bersyarat X1, X2, X3 diberikan X4= x4, X5= x5, …, Xn = xn adalah

Generalisasi kebebasan statistik

·         Def.2.11: Andaikan X1, X2, …, Xn adalah n-buah peubah acak, diskrit atau kontinyu, dengan sebaran peluang bersama f(x1, x2, …, xn) dan sebaran marjinal f1(x1), f2(x2), …, fn(xn). Peubah acak X1, X2, …, Xn disebut saling bebas secara statistic jika dan hanya jika

f(x1, x2, …, xn) = f1(x1)⋅f2(x2) ⋅… ⋅fn(xn)

·         Contoh2.13: AndaikanX1, X2, danX3 adalah tiga peubah acak yang saling bebas secara statistic dan andaikan masing-masing memiliki fungsi rapat peluang:

f(x) = e-x,        x>0

       = 0,                       selain itu

Tentukan P(X1<2, 1<X2<3, X3>2)

·         Jawab:

Fungsi rapat peluang bersama dari X1, X2, danX3 adalah

f(x1, x2, x3) = f(x1) f(x2) f(x3)

        = e-x1 e-x2 e-x3

       = exp(-x1 -x2 -x3),           x1>0, x2>0, x3>0

Maka P(X1<2, 1<X2<3, X3>2) = ∫2∞∫13 ∫02 exp (-x1 -x2 -x3)  dx1 dx2 dx3 =(1 -e-2) (e-1 -e-3) e-2 = 0.037

SOAL DAN PEMBAHASAN

1.      Tentukan rumus distribusi peluang banyaknya sisi gambar bila sebuah uang logam dilempar 3 kali. Buatlah tabelnya ?

JAWAB :

Eksperimen :

pelemparan 1 mata uang 3x, Banyaknya titik sampel = 2³ = 8

S ={AAA, AAG, AGG, GGG, AGA, GAG, GAA, GGA}

Banyaknya muncul sisi gambar adalah

Jadi fungsi peluang adalah :

Untuk x = 0,1,2,3

Tabel distribusi peluang :

2.      Sebuah dadu dilemparkan 2x

JAWAB :

Misalkan : x = jumlah titik dadu dalam kedua lemparan itu, maka

x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Tabel distribusi probabilitas x :

a)      P(x>8)   = P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+ P(x=12)

                                =            =

b)      P(4<x<7) = P(x=5) + P(x=6)

                                =            =       

3.      Sebuah toko menjual obral 15 radio, diantara radio tsb, terdapat 5 yang rusak. Jika seorang calon pembeli melakukan tes tiga radio yang dipilih secara random. Tuliskan distribusi probabilitas x = banyaknya radio yang rusak dalam sampel itu dan tabelnya !

JAWAB :

 

Tabel distribusi probabilitasnya :

Harga x
Probabilitas x	O             1                 2                   3

4.       

5.      Fungsi kerapatan gabungan dari peubah acak X dan Y dinyatakan sebagai  :

JAWAB :

6.      Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat

JAWAB :

Misalkan X peubah acak dengan nilai x kemungkinan banyaknya komputer yang cacat yang dibeli oleh sekolah tersebut. Maka x dapat memperoleh setiap nilai 0, 1, dan 2. Sekarang,

     

F(0) = P (X = 0) =     = 10/28

                         

 

F(1) = P(X = 1) =          = 15/28

 

f(1) = P(X = 2) =               = 2/28

 

Jadi distribusi peluang X

         x                   0          1          2

        f(x)         10/28   15/28   3/28

7.      Hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X dalam contoh soal 2. Dengan menggunakan F(x), perlihatkan bahwa f(2) = 3/8

JAWAB :

Dengan menghitung langsung distribusi peluang pada contoh soal 2, diperoleh f(0) = 1/16, f(1) = 1/14, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, dan f(4) = 1/16. Jadi,

      F(0) = f(0) = 1/16

      F(1) = f(0) + f(1) = 5/16

      F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16

      F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16

      F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

Jadi,

      f(2) = F(2) – F(1) = 11/ 16 – 5/16 = 3/8

8.      Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam ºC, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang

      f(x) =    x2/3,               untuk –1 < x < 2

                   0,                    untuk x lainnya

 

Tunjukkan bahwa syarat                           terpenuhi.

Hitung P(0 < x    1). 

Jawab:

  

                    =      x2/3 dx = x3/9    = 8/9 + 1/9 = 1.

P(0 < x  ≤  1) =      x2/3 dx = x3/9   = 1/9

9.      Carilah F(x) dari fungsi pada contoh soal 4 dan kemudian hitunglah P(0 < X  ≤  1)

JAWAB :

Untuk -1< x < 2,

 

F(x) =                      =     t²/3 dt = t³/9     =        x³+1

                                                          9

Jadi,

                        0                x    ≤  -1

      F(x) =       x³ + 1         -1    ≥  x < 2

                          9

                        1                x  ≥    2

Jadi,

P(0 < X  ≤   1) = F(1) – F(0) = 2/9 – 1/9

10.  Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang berwarna biru dan Y warna merah yang terpilih, hitunglah

a.       Fungsi peluang gabungan f(x,y), dan

b.      P [(X,Y)  € A], bila A daerah { (x,y) [x+y ≤   1}

JAWAB :

Pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0, 2), dan (2,0). Sekarang f(0,1), misalnya menyatakan peluang bahwa isi berwarna merah dan hijau yang terpilih. Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua isi dari delapan adalah   = 28. Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 isi berwarna merah dan hijau dari 3 isi berwarna hijau adalah = 6, jadi f(0,1) = 6/28 = ¾. Dengan jalan yang sama dihitung peluang untuk kasus lainnya, yang disajikan pada tabel halaman berikut

 

                                                      x = 0, 1, 2;

F(x,y) =                                         y = 0, 1, 2;

                                                      0       x+y     2

                                                          ≤          ≤

F(x,y)		x	Jumlah baris
		0            1               2
y	0 1 2	3/28       9/28      3/28 3/14       3/14 1/28	15/28 3/7 1/28
jum. lajur		5/14     15/28    3/28	1

. P [(X, Y)  €   A]   = P (X + Y  ≤  1)

                               = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)

                               = 3/28 + 3/14 + 9/28

                               = 9/14

11.  Suatu perusahaan coklat mengirim berkotak-kotak coklat dengan campuran krem, tofe, da kacang berlapis coklat cerah dan pekat. Bila kotak dipilih secara acak , serta X dan Y menyatakan amsing – masing proporsi yang krem berlapis coklat cerah dan pekat dan misalkan bahwa fungsi padat gabungannya ialah:…….

 

f(x, y) =                              0  ≤  x  ≤   1,    0  ≤   y  ≤  1

                                           untuk x, y lainnya

 

Tunjukkan bahwa syarat                              = 1 dipenuhi

JAWAB :

 

                                =            

 

                                =          2x² + 6xy           dy

                                               5      5

 

                                =        2   +  6y   dy  = 2y + 3y²

                                           5       5             5      5      

                                =     2 + 3 = 1

                                       5    5